Circuitos Aritméticos

Computadores e calculadoras digitais utilizam flip-flops combinados para somar, subtrair, multiplicar e dividir números binários.

Unidade lógica e aritmética

Em um computador, as operações lógicas e aritméticas são realizadas na unidade lógica e aritmética (ALU, do inglês arithmetic/logic unit). A figura a seguir ilustra uma ALU.

O principal objetivo da ALU é receber dados binários armazenados na memória e executar operações lógicas e aritméticas sobre eles, conforme instruções provenientes da unidade de controle. A ALU contém pelo menos dois registradores: registrador B e registrador acumulador (também pode ser chamado registrador A). Uma sequência de operações pode ocorrer da seguinte maneira:

1. a unidade de controle recebe as instruções (provenientes da unidade de memória) indicando que um número (armazenado em um endereço de memória) será somado ao número armazenado no registrador acumulador
2. o número a ser somado é transferido da memória para o registrador B
3. os números do registrador B e do registrador acumulador são somados no circuito lógico e o resultado da soma é enviado ao registrador acumulador
4. o novo número no registrador acumulador pode ser mantido nele (para outras operações) ou armazenado na memória

Somador binário paralelo

Computadores e calculadoras digitais realizam operações de adição sobre dois números binários de cada vez (cada um podendo ter vários dígitos binários). A figura a seguir ilustra a adição de dois números de cinco bits.

Em cada passo do processo de adição, três bits são somados: o bit da 1a. parcela, o da 2a. parcela e o carry (proveniente da posição anterior). O resultado da adição produz dois bits: um da soma e um de carry (que será somado aos bits da próxima posição). O circuito da figura a seguir mostra como esse processo pode ser repetido.

As variáveis $A_4, ..., A_0$ representam os bits da 1a. parcela armazenados no registrador acumulador. As variáveis $B_4,..., B_0$ representam os bits da 2a. parcela armazenados no registrador B. As variáveis $C_4,...,C_0$ representam os bits de carry. As variáveis $S_4,...,S_0$ são os bits de saída do resultado para cada posição).

Os bits correspondentes à 1a. e 2a. parcela são enviados para um circuito lógico chamado somador completo (FA, do inglês full adder) com um bit de carry da posição anterior.

A figura anterior demonstra como o ciruito pode somar números de cinco bits, mas computadores modernos geralmente trabalham com números de 64 bits.

O circuito em questão é chamado somador paralelo porque todos os bits relativos às parcelas são colocados simultaneamente na entrada do somador.

Projeto de um somador completo

A figura a seguir mostra a tabela-verdade de um somador completo, com três entradas: $A,B,C_{IN}$ e duas saídas $S,C_{OUT}$. Há, portanto, oito casos possíveis, cada qual relacionado com o valor da saída desejada.

A figura a seguir mostra o diagrama de bloco do somador completo.

Por exemplo, vamos analisar o caso em que $A=1,B=0,C_{IN}=1$. O somador completo (FA) tem de somar esses três bits parar gerar $S=0,C_{OUT}=1$.

A expressão para a saída $S$ é a seguinte:

$$S=\overline{A}\overline{B}C_{IN}+\overline{A}B\overline{C_{IN}}+A\overline{B}\overline{C_{IN}}+ABC_{IN}$$

A expressão pode ser simplificada para:

$$S = \overline{A}(\overline{B}C_{IN} + B\overline{C_{IN}}) + A(\overline{B}\overline{C_{IN}}+BC_{IN})$$

Utilizando outras operações e simplificações, temos, por fim:

$$S = A \oplus (B \oplus C_{IN})$$

A saída $C_{OUT}$ é expressa pela equação:

$$C_{OUT} = AB + AC_{IN} + BC_{IN}$$

A figura a seguir apresenta o diagrama de circuitos para o somador completo.

Outros circuitos:

• meio-somador (HA, do inglês half adder)
• subtrator completo (FS, do inglês full subtractor)
• meio-subtrator (HA, do inglês half subtractor)